Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz: Lý thuyết và Bài tập
Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hoặc viết phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học ở trình độ trung học phổ thông. Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn tổng hợp kiến thức liên quan đến việc lập phương trình cho mặt phẳng trong không gian và cách áp dụng nó, hãy cùng khám phá!
Phương trình mặt phẳng trong không gian
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz
Phương trình tổng quát của một mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng chung là:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2>0
Để lập phương trình của một mặt phẳng trong không gian, ta cần xác định hai yếu tố quan trọng sau đây:
- Điểm M nằm trên mặt phẳng.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P) với phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) với phương trình A’x + B’y + C’z + D’ = 0, ta có các điều kiện sau:
- Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: AA’ ≠ BB’ ≠ CC’
- Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: AA’ = BB’ = CC’ ≠ DD’
- Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: AA’ = BB’ = CC’ = DD’
- Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: AA’ + BB’ + CC’ = 0
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Giả sử có một điểm M(a, b, c) và một mặt phẳng (P) với phương trình Ax + By + Cz + D = 0. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) có thể tính bằng công thức sau:
d(A,(P))=|Aa+Bb+Cc+D|A2+B2+C2√
Tổng kết lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gian
Các dạng bài viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyến
Bởi vì mặt phẳng (P) đi qua điểm M có tọa độ (x0, y0, z0) và có vector pháp tuyến n⃗ với thành phần (A, B, C), nên phương trình của mặt phẳng (P) có thể viết dưới dạng:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M (3;1;1) và có VTPT n⃗ =(1;−1;2)
Cách giải quyết vấn đề:
Để giải, ta thay thế tọa độ của điểm M và vector pháp tuyến n⃗ vào phương trình của mặt phẳng (P). Kết quả là:
(P): (1)(x – 3) + (-1)(y – 1) + 2(z – 1) = 0 ⇔ x – y + 2z – 4 = 0
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng
Do mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, và C, nên mặt phẳng (P) có ít nhất một cặp vector chỉ phương, ví dụ AB→ và AC→.
Khi đó, để tìm vector pháp tuyến n⃗ của (P), chúng ta có thể tính tích có hướng của hai vector AB→ và AC→, tức là n⃗ = [AB→; AC→].
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,1,3); B(-1,2,3); C(-1;1;2)
Cách giải:
Chúng ta có AB→ = (-2, 1, 0) và AC→ = (-2, 0, -1), vì vậy, [AB→, AC→] = (-1, -2, 2).
Do đó, mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến là n⃗ = [AB→, AC→] = (-1, -2, 2) và đi qua điểm A(1, 1, 3), vì vậy phương trình của mặt phẳng là:
(-1)(x – 1) – 2(y – 1) + 2(z – 3) = 0 ⇔ -x – 2y + 2z – 3 = 0
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khác
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M với tọa độ (x0, y0, z0) và là mặt phẳng song song với mặt phẳng (Q) với phương trình Ax + By + Cz + m = 0.
Vì điểm M nằm trên mặt phẳng (P), khi thay tọa độ của M vào phương trình của (P), ta có phương trình sau:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Lưu ý rằng hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến.
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;-2;3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 5 = 0
Cách giải:
Do (P) là mặt phẳng song song với (Q), vì vậy vector pháp tuyến của (P) có cùng hướng với vector pháp tuyến của (Q).
Kết quả là phương trình của (P) có dạng: 2x – 3y + z + m = 0.
Vì (P) cũng đi qua điểm M (1, -2, 3), chúng ta có thể thay tọa độ của M vào phương trình để tìm giá trị của m:
2(1) – 3(-2) + 3 + m = 0 ⇔ m = -11.
Vậy phương trình của (P) là: 2x – 3y + z – 11 = 0.
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trước
Để tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M có tọa độ (x0, y0, z0) và đường thẳng d, làm theo các bước sau:
- Chọn một điểm A thuộc đường thẳng d và tính vector MA→ từ điểm M đến điểm A.
- Tìm vector u⃗ là vector chỉ phương của đường thẳng d.
- Sử dụng hai vector MA→ và u⃗ để tạo vector pháp tuyến n⃗ của mặt phẳng (P) theo công thức n⃗ = [MA→; u⃗ ].
- Sau đó, thay tọa độ của điểm M (x0, y0, z0) và vector pháp tuyến n⃗ vào phương trình của mặt phẳng, ta sẽ có phương trình của mặt phẳng (P) cần tìm.
Ví dụ 4: Để viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3, 1, 0) và đường thẳng d với phương trình x – 3 – 2 = y + 11 = z + 11, làm theo các bước trên để tìm phương trình của mặt phẳng (P).
Cách giải:
Bắt đầu bằng việc chọn một điểm A(3, -1, -1) thuộc đường thẳng d.
Kết quả là vector MA→ (0, -2, -1) và vector chỉ phương u⃗ của đường thẳng d (-2, 1, 1).
Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm M, chúng ta tính vector pháp tuyến n⃗ = [MA→; u⃗] = (-1, 2, 4).
Sau đó, thay tọa độ của điểm M (3, 1, 0) và vector pháp tuyến n⃗ vào phương trình của mặt phẳng, ta thu được phương trình của mặt phẳng (P):
-1(x – 3) + 2(y – 1) – 4z + 1 = 0 ⇔ -x + 2y – 4z + 1 = 0
Video hướng dẫn chi tiết
Kết luận
Đây là bài viết tổng hợp kiến thức về việc lập phương trình cho mặt phẳng trong không gian Oxyz. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi hoặc ý kiến đóng góp về chủ đề này, vui lòng để lại bình luận dưới đây để chúng ta có thể trao đổi và thảo luận thêm. Chúng tôi rất mong nhận được sự phản hồi từ các bạn. Nếu bạn thấy bài viết hữu ích, hãy chia sẻ nó để giúp người khác hiểu sâu hơn về viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Cảm ơn mọi người!
