Tìm m để hàm số có 3 cực trị: Lý thuyết và Các dạng bài tập
Cách tính giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông hoặc một tam giác đều là gì? Hãy xác định giá trị m sao cho ba cực trị của hàm số tạo thành một tam giác với đường tròn ngoại tiếp có bán kính cố định. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá về chủ đề này cùng với giasuhanoi.edu.vn!
Cách tìm m để hàm số có 3 cực trị
Bài toán tổng quát
Cho hàm số y=ax4+bx2+c (a, b, c phụ thuộc vào tham số m).
Tìm m để hàm số có ba cực trị và thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp giải
Bước 1: Bắt đầu với việc tính đạo hàm của hàm số y′=4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)=2x.g(x), với g(x)=2ax^2+b.
Khi ta giải phương trình y’ = 0, ta thu được x = 0 hoặc g(x) = 2ax^2 + b = 0, từ đó x^2 = -b/(2a).
Để hàm số y = ax^4 + bx^2 + c có 3 cực trị, điều đó đồng nghĩa với việc phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi g(x) = 2ax^2 + b có hai nghiệm phân biệt và không bằng 0. Cụ thể:
aΔg ≠ (Δ’g) ≠ 0, trong đó Δg là hệ số bậc 2 của g(x).
⇒ m thuộc vào tập hợp D(∗).
Nhận xét: Phương trình y’ = 0 luôn có một nghiệm x = 0 và đồ thị của hàm số ban đầu là hàm chẵn, do đó các điểm cực trị đối xứng qua trục Oy.
Giả sử rằng ba điểm cực trị là A trên trục Oy, B và C đối xứng qua trục Oy.
Bước 2: Bằng cách sử dụng các điều kiện ban đầu, chúng ta có thể thu được một phương trình hoặc bất phương trình liên quan đến tham số m. Sau đó, chúng ta giải phương trình hoặc bất phương trình này để tìm ra giá trị của tham số m. Sau khi tìm được giá trị m, chúng ta đối chiếu nó với điều kiện (*) và kết luận về giá trị cuối cùng của m.
Ví dụ các dạng toán tìm m để hàm số có 3 cực trị
Khi ab<0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:
A(0;c),B(−b2a;−Δ4a),C(b2a;−Δ4a)
Với Δ=b2−4ac
Ví dụ: Cho hàm số yy=x4–2(m+1)x2+m2, với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số trên có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Cách giải:
Đạo hàm y=4x3−4(m+1)x
Công thức tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân
Công thức: 8a + b^3 = 0
Ví dụ: Hãy tìm giá trị của m sao cho hàm số y = x^4 + (m + 2015)x^2 + 5 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
Cách giải:
Chúng ta biểu diễn công thức 8a + b^3 = 0 với a = 1 và b = m + 2015.
8a + b^3 = 0 ⇒ (8 * 1) + (m + 2015)^3 = 0 ⇒ m + 2015 = -8 ⇒ m = -2023
Vậy, giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân là m = -2023.
Công thức tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều
Công thức: 24a + b^3 = 0
Ví dụ: Hãy tìm giá trị của m để hàm số y = 98x^4 + 3(m – 2017)x^2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Cách giải:
Chúng ta biểu diễn công thức 24a + b^3 = 0 với a = 98 và b = 3(m – 2017).
24a + b^3 = 0 ⇒ 24 * 98 + (3(m – 2017))^3 = 0 ⇒ 2352 + 27(m – 2017)^3 = 0
Simplifying:
27(m – 2017)^3 = -2352
Bây giờ, để tìm giá trị của m, ta giải phương trình này:
(m – 2017)^3 = -2352 / 27
(m – 2017)^3 = -88
Khi lấy căn bậc ba của cả hai bên phương trình:
m – 2017 = -4
m = 2017 – 4
m = 2013
Vậy, giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều là m = 2013.
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị: Diện tích tam giác ABC
Công thức: √−b^5/32a^3
Công thức tìm m để hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Công thức: R=b3−8a8|a|b
Ví dụ: tìm m để hàm số y=mx4+x2+2m−1 có 3 cực trị tạo thành tam giác nội tiếp trong đường tròn có bán kính R=98
Kết luận
Chúng tôi hy vọng rằng bài viết trên đây đã cung cấp cho bạn kiến thức hữu ích về lý thuyết cũng như các dạng bài tập liên quan đến việc tìm giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị. Chúc bạn luôn tiến bộ trong học tập và thành công trong việc giải quyết các bài Toán!
