Phương trình đường thẳng – Lý thuyết và các công thức
Phần kiến thức về phương trình đường thẳng là một mảng quan trọng trong chuyên đề phương trình tọa độ trong không gian và thường được tập trung ôn tập trong chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán. Đây là một phần kiến thức đáng chú ý được thầy cô giáo và các tổ chuyên môn dành nhiều thời gian để học sinh nắm vững.
Để đạt được hiểu biết chi tiết về cấu trúc của đề thi và các loại câu hỏi liên quan, các học sinh có thể tham khảo Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán.
giasuhanoi.edu.vn đã tổng hợp kiến thức cơ bản về phần này để giúp học sinh hiểu rõ hơn về phương trình đường thẳng, việc viết phương trình tham số của đường thẳng, và các ứng dụng thực tế. Hãy cùng chúng tôi khám phá chi tiết kiến thức này để chuẩn bị tốt cho kỳ thi quan trọng.
Lý thuyết về phương trình đường thẳng
1. Vecto chỉ phương của đường thẳng
Vector u được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu u không bằng vectơ 0 và hướng của nó song song hoặc trùng với hướng của đường thẳng ∆. Từ lý thuyết này, chúng ta có thể nhận thấy rằng một đường thẳng sẽ có vô số vectơ chỉ phương trong không gian.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0, y0) và có vectơ chỉ phương u = (a; b). Dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng ∆:
Nhận xét: Nếu đường thẳng ∆ có Vectơ chính phụ = (a; b)
Chú ý: Nếu đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u = (a; b), thì hệ số góc (k) có thể tính bằng công thức sau:
k = b/a
3. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng
Vector n được coi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n không bằng vectơ 0 và n vuông góc với đường thẳng ∆. Do đó, tương tự như vectơ chỉ phương, một đường thẳng sẽ có vô số vectơ pháp tuyến.
Mối quan hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương:
4. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trên trục tọa động
Nếu đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0, y0) và có vectơ pháp tuyến n = (A; B), thì phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có thể được biểu diễn như sau:
A(x – x0) + B(y – y0) = 0, hoặc Ax + By + C = 0 với C = -Ax0 – By0.
Đây là cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong các bài tập liên quan đến dạng này.
Lưu ý:
+) Nếu đường thẳng ∆ có VTPT n = (A; B) thì có hệ số góc:
k = -a/b
+) Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng:
Phương trình trên được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt 2 trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại các điểm M(a0; 0) và N(0; b0).
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Hãy xem xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát sau:
Đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 Đường thẳng ∆2: a2x + b2y + c2 = 0
Tọa độ của điểm giao điểm giữa ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình sau:
+) Nếu hệ có một nghiệm duy nhất (x0; y0) thì đường thẳng ∆1 cắt ∆2 tại một điểm điểm M0(x0, y0).
+) Nếu hệ trên có vô số nghiệm nghĩa là ∆1 trùng với ∆2.
+) Nếu hệ vô nghiệm thì đường thẳng ∆1 và ∆2 không có điểm chung, hay ∆1 song song với ∆2
Cách 2. Xét tỉ số
6. Góc giữa hai đường thẳng
Có hai đường thẳng sau:
Đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 với vectơ pháp tuyến n1 = (a1; b1); Đường thẳng ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 với vectơ pháp tuyến n2 = (a2; b2);
Chúng ta gọi α là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Khi đó, chúng ta có:
7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M0(x0, y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức như sau:
Nhận xét: Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 giao nhau. Ta tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
Trong bài viết này, chúng ta đã khám phá lý thuyết cơ bản về phương trình đường thẳng và các công thức quan trọng liên quan đến đường thẳng. Chúng ta đã tìm hiểu cách biểu diễn đường thẳng bằng phương trình tổng quát và phương trình tham số, cũng như cách tính góc giữa các đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Đây là những kiến thức quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế, từ hình học đến vật lý và công nghệ.
