Cách làm bài cực trị của hàm trị tuyệt đối [CỰC NHANH]

Để xác định cực trị của hàm trị tuyệt đối y = f(|x|), chúng ta cần thực hiện việc tạo bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số y = f(|x|). Điều này có thể được thực hiện bằng cách xem xét bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm y = f(x).

Lưu ý:

Đồ thị của hàm số trị tuyệt đối y = f(|x|) có 2 phần quan trọng:

• Phần đồ thị tương ứng với y = f(x) nằm ở phía bên phải của trục tung (trục Oy) và được gọi là C.
• Phần đồ thị này là phản xứng (C) qua trục tung (trục Oy).

B. Số cực trị của hàm trị tuyệt đối

a. Đối với hàm số y = |f(x)|

Số điểm cực trị của hàm số trị tuyệt đối y = |f(x)| là tổng số điểm cực trị của hàm số y = f(x) cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình y = f(x) = 0.

b. Đối với hàm số y = f(|x|)

Số điểm cực trị của hàm số trị tuyệt đối y = f(|x|) gấp đôi số điểm cực trị dương của hàm số y = f(x) cộng thêm một.

C. Các dạng bài cực trị hàm trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Giả sử có một hàm số y = f(x) có đồ thị (C) như hình minh họa bên dưới. Bây giờ chúng ta sẽ xác định xem hàm trị tuyệt đối y = f(|x|) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Lời giải

Đáp án C: 5 điểm cực trị

Đồ thị (C’) của hàm số y = f(|x|) sẽ có dạng

+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục tung của(C) ta được (C₁)

+ Vẽ đối xứng qua trục tung phần đồ thị của (C₁) ta được đồ thị (C₂)

+ Khi đó đồ thì của hàm y = f(|x|) là giao của (C₁)(C₂). Đồ thị có dạng hình vẽ dưới đây:

Từ đồ thị (C’), có thể nhận thấy hàm số y = f(|x|) có tổng cộng 5 điểm cực trị.

Một cách giải nhanh như sau: Nhìn vào đồ thị (C) ban đầu, ta thấy có 2 điểm cực trị dương. Khi lấy trị tuyệt đối (|x|), chúng ta tạo thêm 2 điểm cực trị ảnh hưởng bởi đối xứng qua trục tung, và còn lại một điểm cực trị tại gốc tọa độ (0,0). Tổng cộng, số điểm cực trị của hàm số y = f(|x|) là 2 (từ phần dương của (C)) + 2 (từ phần âm của (C)) + 1 (tại gốc tọa độ), tức là 5 điểm cực trị.

Ví dụ 2: Cho hàm số có dạng y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Xác định hàm số y = |f(x)| có tổng cộng bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5.

B. 6.

C. 3.

D. 7.

Lời giải

Số điểm cực trị của hàm số y = |f(x)| có dạng như vậy chúng ta có:

• 4 điểm cực trị tương ứng với phần đồ thị y = f(x) (x1, x2, x3, x4).
• Khi lấy trị tuyệt đối, chúng ta thêm 3 điểm cực trị nữa vì phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox (phía dưới trục Ox) sẽ cắt trục Ox tại ba điểm, tạo ra ba điểm cực trị ảnh hưởng bởi đối xứng (x5, x6, x7).
• Tổng cộng, số điểm cực trị của hàm số y = |f(x)| là 4 (từ phần trên trục Ox) + 3 (từ phần đối xứng dưới trục Ox) = 7 điểm cực trị.

Vậy đáp án đúng là D: 7 điểm cực trị.

Từ bảng biến thiên ta có thể suy ra đồ thị y = |f(x)| có tổng cộng 7 điểm cực trị.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = |(x – 1)(x – 2)²|. Xác định số điểm cực trị của hàm trên?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Để tìm cực trị của hàm trị tuyệt đối y = |(x – 1)(x – 2)²|, ta cần xem xét hàm số gốc (không trị tuyệt đối) f(x) = (x – 1)(x – 2)² và số nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Bước 1: Tìm số điểm cực trị của hàm số gốc f(x) = (x – 1)(x – 2)².

• Hàm số f(x) = (x – 1)(x – 2)² là một đa thức bậc hai có đỉnh là một điểm cực tiểu, vì đạo hàm của nó f'(x) = 2x³ – 6x² + 5x – 2 có dấu dương trước x = 1 và dấu âm sau x = 1. Do đó, x = 1 là một điểm cực tiểu.
• Hàm số f(x) có một nghiệm bội là x = 2.

Bước 2: Tìm số điểm cực trị của hàm số y = |(x – 1)(x – 2)²|.

• Số điểm cực trị của hàm số y = |(x – 1)(x – 2)²| bằng số điểm cực trị của hàm số gốc f(x) cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0.
• Ta đã xác định rằng hàm số gốc f(x) có 2 điểm cực trị (điểm cực tiểu tại x = 1 và điểm cực trị tại x = 2).
• Phương trình f(x) = 0 có một nghiệm bội là x = 2.

Vậy, tổng cộng số điểm cực trị của hàm số y = |(x – 1)(x – 2)²| là 2 (từ hàm gốc) + 1 (từ nghiệm bội lẻ) = 3 điểm cực trị.

Đáp án C: 3 điểm cực trị.

Ngoài ra các bạn có thể tham khảo thêm một số câu hỏi trắc nghiệm về dạng bài tìm điểm cực trị hàm trị tuyệt đối dưới đây: